Hallo,
bin neu hier im Forum, lese aber schon länger ein bißchen mit. Fahre momentan noch keinen Mini, aber ab Frühling des kommenden Jahres wird sich das ändern :). Zu dem Thema 13" Slicks könnte ich schon was beitragen, da ich seit Jahren 13" Slicks auf einem Autobianchi fahre und so allerlei ausprobiert habe.
Die hier angesprochenen Michelin in der Dimension 16/53/13 gab/gibt es rel gut gebraucht zu kaufen. Es handelt sich um eine mittlere Mischung, Bezeichnung FR2.0. Diese Reifen werden auf einigen Minis in der BCT eingesetzt, recht viele Abarths fahren diese Reifen auch.
Neben den genannten Adressen gibt es auch unter Rennreifenshop.de die Möglichkeit, sich diese Slicks liefern zu lassen. Habe nur gute Erfahrungen gemacht. Es gibt diese Michelin zwischen 30€ und 45€ pro Stück, ja nach Zustand. Empfehlen würde ich die für 40-45€, sollten am wenigsten angefahren sein.
Meistens werden diese Reifen rundum eingesetzt, wobei man auf der HA ruhig weicher gehen kann. Michelin in dieser Größe gibt es nur in 2 Mischungen(Slick), die genannte FR2.0 (mittel) und S6 (weich).
Die FR2.0 dürften für einen Slalom eher zu hart sein. Habe diese Reifen am Berg gefahren, war nicht so gut. Die S6 gibt es eher nicht gebraucht, kosten neu so runde 185€ das Stück.
Wenn du 530er Reifen fahren willst, und Slalom und Rundstrecke fahren willst wären 4 S6 und 2FR2.0 sicher keine schlechte Wahl.
Günstiger wären 6 FR2.0, wobei 4 Stück mit tyre-softener behandelt werden könnten. Dann wäre man so ca bei 250€ für die Reifen, und so runde 50€ für die Dose softener. Das Zeug gibt es auch im Rennreifenshop.
Habe den softener öfters eingesetzt, bin aber wieder davon weg, es riecht besch... und es sind ein paar Totenköpfe zuviel auf der Dose. Wenn einem das egal ist kann man es mal testen. Die Reifen werden wirklich weicher (gemessen) und man kann Sie voll fahren. Problem war, hat man einmal angefangen muß man wohl dranbleiben, die Wirkung verfliegt. Also muß man mehrmals im Jahr das Zeug draufpinseln. Tipp, die Reifen nie mehr im eigenen Auto transportieren 
Slicks über ebay zu kaufen kann ich nicht empfehlen, ich hatte bisher nur Schrott.
Neben den Michelin werden auch 13" Avons eingesetzt. Diese gibt es eher selten gebraucht zu kaufen, evtl bei Rennveranstaltungen direkt am Reifentruck von Dieter Knüttel. Dort könnte man auch die Michelin S6 beziehen. Bei Knüttel gibt es neben den Reifen auch Tipps zum Luftdruck und auch Größe und Mischung usw.
Generell gibt es 13" Avons in vielen Höhen und Breiten und mehreren Mischungen. Denke das wird die Größte Auswhl in 13" sein (zumindest auf dem Papier). Aber leider in der Masse nur neu.
Für Slalom wird die Mischung A15 (supersoft) iO sein.
Weiterhin werden auch Bridgestone Slicks in 180/510/13 gefahren. Habe ich noch nicht gefahren, aber sollen auch sehr gut sein. Gibt es wohl auch in 3 Mischungen.
Grüße Thomas